限界感度法 (Ziegler-Nichols Ultimate Sensitivity)

I/D を切り P のみで持続振動する Ku・Tu を測定し、公式で PID gain を決める古典的なチューニング手法

要点: I と D を 0 にして P のみで動かし、Kp を上げて持続振動が始まる限界を探す。その gain (Ku) と周期 (Tu) から公式で PID gain を決める。Classical ZN の gain は overshoot 前提なので、Tyreus-Luyben 等の派生や、より安全なリレーフィードバック法が実務で使われる。

手順 #

I 項と D 項を 0 にする (

k_{i} = 0

k_{d} = 0

)

Kp を小さい値から徐々に上げる (等比数列で刻むと二分探索できる)

各 gain で外乱かステップ (目標値をパルス的に振る等) を入れる

応答を観察: 減衰は gain 不足、発散は行き過ぎ、一定振幅の持続振動が限界

振動の周期を Tu として測る (連続する山→山、5-10 周期で平均)

その時の Kp が Ku (限界感度)、周期が Tu (限界周期)。

チューニング公式 (Classical Ziegler-Nichols)#

制御タイプ	Kp	Ti	Td
P	$0.5 K_{u}$	—	—
PI	$0.45 K_{u}$	$T_{u} /1.2$	—
PID	$0.6 K_{u}$	$T_{u} /2$	$T_{u} /8$

PID の直接表現:

K_{p} = 0.6 K_{u}, K_{i} = \frac{1.2 K _{u}}{T _{u}}, K_{d} = 0.075 \cdot K_{u} \cdot T_{u}

$K_{i} = K_{p} / T_{i}$ 、 $K_{d} = K_{p} \cdot T_{d}$ の関係。

派生 (Classical はオーバーシュート大きめのため実務で調整)#

手法	Kp	Ti	Td	特徴
Classical ZN	$0.6 K_{u}$	$T_{u} /2$	$T_{u} /8$	4:1 減衰、~25% overshoot
Pessen (積分強め)	$0.7 K_{u}$	$0.4 T_{u}$	$0.15 T_{u}$	追従重視
Some overshoot	$0.33 K_{u}$	$T_{u} /2$	$T_{u} /3$	overshoot 少
No overshoot	$0.2 K_{u}$	$T_{u} /2$	$T_{u} /3$	過減衰・応答遅
Tyreus-Luyben	$K_{u} /3.2$	$2.2 T_{u}$	$T_{u} /6.3$	プラント安定重視 (化学工業由来)

Classical ZN はロボット系では gain 過大になることが多く、Some overshoot か Tyreus-Luyben から始めて実測で調整するのが一般的。

利点と欠点 #

利点: モデル不要 (プラント伝達関数が未知でも実施可能)、閉ループのままできる、手順が単純

欠点: 意図的に発振させるため実機では機構破損リスクがある、出る gain は overshoot 前提 (減衰比 1/4)、無駄時間が長い系や非最小位相系では精度が悪い

実装上のコツ #

soft limit を厳しく設定してから始める (機構がぶつからない範囲で振動)
Kp は等比数列で刻む (1 → 2 → 4 → 8 → ... → 半分ずつ絞る、二分探索)
振動を捕まえたら先に gain を下げて停止、その後解析
$T_{u}$ の測定は 5-10 周期以上を平均する (ノイズ・非線形の影響を減らす)
位置制御軸では両側の soft limit での反射で振動を作れる

判定フロー #

リレーフィードバック法 (Åström-Hägglund) との関係 #

限界感度法の派生。連続的な発散を起こす代わりに、リレー (bang-bang) で強制振動させて Ku・Tu を推定する:

K_{u} = \frac{4 d}{π a}

$d$ : リレー出力の振幅
$a$ : 応答振幅
$T_{u}$ : 極限サイクルの周期そのまま

Kp を上げすぎて発散するリスクがなく、産業実装では auto-tune の標準手段の 1 つ。