パレタイザ型パラレルリンク腕は IK 解析解が閉じる

要点: パレタイザ型パラレルリンク腕（両ピッチモータがベース側、平行 4-bar で elbow/wrist_mount が水平を保つタイプ）は IK 解析解が閉じる。問題が 2R 平面 + base yaw + wrist yaw + wrist pitch に分解できるからで、汎用 6-DOF 腕より数値的に安定。難しい点は IK の解算ではなく URDF での近似と、状態依存 joint limit の表現不能性の側にある。

なぜ閉じるか#

平行 4-bar の <mimic multiplier="-1"> が shoulder_pitch / beam_pitch を打ち消し、elbow_link と wrist_mount が常に水平を保つ。手先の向きは shoulder / beam の角度に依存しない。

結果：

• base yaw = 目標点の方位角から一意
• shoulder_pitch (θ₁) と beam_pitch (θ₂) = 2R 平面リンクの逆解
• wrist yaw = tool_yaw − base_yaw − pad_mount_yaw の代数計算
• wrist pitch = tool_pitch を直接（wrist_mount が水平なので補正不要）

2R 平面リンクは教科書解：

r² = x² + z²
cos θ₂ = (r² − L1² − L2²) / (2 L1 L2)
θ₁ = atan2(z, x) − atan2(L2 sin θ₂, L1 + L2 cos θ₂)

解は 2 通り (elbow up / elbow down)、パレタイザでは常に elbow up。

IK が難しいケースとの比較#

パレタイザは有効 DOF が少ない側なので、モータ数 = task 次元でほぼぴったり合う。

実装上の注意（URDF 側の限界）#

IK 解算そのものは閉じるが、URDF が実物と合ってないと解が実物とずれる：

1. <mimic multiplier="-1"> は完全な平行四辺形を仮定：base link 長 = coupler 長 が前提。近似平行 4-bar（等長 crank/drive rod だが base ≠ coupler）は表現不能で、手先絶対角が姿勢に依存する現象を吸収できない。差が小さければ運用上は問題にならない
2. 状態依存 joint limit：mechanical stop が「shoulder = α のとき beam ≤ f(α)」型で入る場合、URDF の静的 <limit> では表現不能。IK は URDF から limit を読むので、URDF が過広なら IK は物理不能な解を返しうる
3. wrist_mount の水平維持は 4-bar の完全性に依存：ケーブル・弾性・バックラッシュがあると水平からずれる → URDF FK ≠ 実物 TCP。IK は URDF から link 長を引くのでこの誤差は継承される

関連#

• /docs/robotics/urdf-parallel-linkage-mimic
• /docs/robotics/urdf-joint-limits
• /docs/robotics/ik-verification-order